Question

19．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且滿足：a_nS_n+1-a_n+1S_n+a_n-a_n+1=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，則$\frac{3}{34}$S₁₂=3．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的前n項和公式求出通項公式a_n，進一步求出數(shù)列對應的前n項和公式，再計算$\frac{3}{34}$S₁₂的值．

解答 解：∵a_nS_n+1-a_n+1S_n+a_n-a_n+1=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，且S_n+1=S_n+a_n+1，
∴（a_n-a_n+1）S_n+$\frac{1}{2}$a_na_n+1+a_n-a_n+1=0，
∴S_n+$\frac{{{a}_{n}a}_{n+1}}{2{（a}_{n}{-a}_{n+1}）}$+1=0；
又∵a₁=1，令n=1，則1+$\frac{{a}_{2}}{2（1{-a}_{2}）}$+1=0，解得a₂=$\frac{4}{3}$，
同理可得a₃=$\frac{5}{3}$，
猜想a_n=$\frac{n+2}{3}$；
下面利用數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，a₁=$\frac{1+2}{3}$=1，成立；
②假設當n≤k（k∈N^*）時成立，a_k=$\frac{k+2}{3}$，則S_k=$\frac{k（1+\frac{k+2}{3}）}{2}$=$\frac{k（k+5）}{6}$；
∵S_k+$\frac{{{a}_{k}a}_{k+1}}{2{（a}_{k}{-a}_{k+1}）}$+1=0，
∴$\frac{k（k+5）}{6}$+$\frac{\frac{k+2}{3}{•a}_{k+1}}{\frac{k+2}{3}{-a}_{k+1}}$+1=0，
解得a_k+1=$\frac{k+3}{3}$；
因此當n=k+1時也成立，
綜上，對于n∈N^*，a_n=$\frac{n+2}{3}$都成立；
由等差數(shù)列的前n項和公式得，S_n=$\frac{n（n+5）}{6}$；
∴$\frac{3}{34}$S₁₂=$\frac{3}{34}$×$\frac{12×（12+5）}{6}$=3．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、遞推關系、數(shù)學歸納法的應用問題，也考查了猜想歸納推理能力與計算能力，是中檔題．