Question

12．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)P（sin$\frac{π}{8}$，cos$\frac{π}{8}$ ），則sin（2α-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)定義和二倍角公式可得sin2α，cos2α，sin$\frac{π}{12}$，cos$\frac{π}{12}$的值，代入兩角差的正弦公式計(jì)算可得．

解答 解：由題意和三角函數(shù)的定義可得cosα=sin$\frac{π}{8}$，sinα=cos$\frac{π}{8}$，
∴sin2α=2sinαcosα=2sin$\frac{π}{8}$cos$\frac{π}{8}$=sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos2α=cos²α-sin²α=sin²$\frac{π}{8}$-cos²$\frac{π}{8}$=-cos$\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin$\frac{π}{12}$=$\sqrt{\frac{1-cos\frac{π}{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
cos$\frac{π}{12}$=$\sqrt{\frac{1+cos\frac{π}{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{12}$）=sin2αcos$\frac{π}{12}$-cos2αsin$\frac{π}{12}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$-（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及二倍角公式，屬中檔題．