Question

9．如圖，四棱錐S-ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．
（Ⅰ）求證：SB=SD；
（Ⅱ）若∠BCD=120°，M為棱SA的中點(diǎn)，求證：DM∥平面SBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直以及線段的垂直平分線的性質(zhì)證明即可；
（Ⅱ）由線線平行面面平行從而推出線面平行即可．

解答 證明：如圖示：
（Ⅰ）設(shè)BD中點(diǎn)為O，連接OC，OE，則由BC=CD知，CO⊥BD，
又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，
所以BD⊥SO，即SO是BD的垂直平分線，所以SB=SD，
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)N，連接DM，MN，DN，
∵M(jìn)是SA的中點(diǎn)，∴MN∥BE，
∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，
∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，
所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，
故DM∥平面SBC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面、面面、線線平行的判定定理，考查看圖能力，是一道中檔題．