Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，設(shè)b_n=$\frac{2}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}-2}}$，c_n=$\frac{4{a}_{n}}{{{a}_{n}}^{2}-2}$．
（1）求證：對一切n∈N^*，n≥2，a_n＞$\sqrt{2}$．
（2）求證：對一切n∈N^*，n≥2，b_n與c_n都是正整數(shù)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，首先驗(yàn)證n=2的情況，假設(shè)n=k，結(jié)論成立，再由函數(shù)y=ax+$\frac{x}$的性質(zhì)，可證n=k+1也成立；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，首先驗(yàn)證n=2的情況，假設(shè)n=k，結(jié)論成立，再結(jié)合條件，化簡整理，即可得到n=k+1也成立，進(jìn)而得證．

解答 證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，a₂=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$＞$\sqrt{2}$，成立；
假設(shè)n=k時(shí)，a_k＞$\sqrt{2}$成立；
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$\frac{1}{2}$a_k+$\frac{1}{{a}_{k}}$＞$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
則n=k+1時(shí)，也成立．
對一切n∈N^*，n≥2，a_n＞$\sqrt{2}$．
（2）當(dāng)n=2時(shí)，b₂=$\frac{2}{\sqrt{{{a}_{2}}^{2}-2}}$=$\frac{2}{\sqrt{\frac{9}{4}-2}}$=4，
c₂=$\frac{4{a}_{2}}{{{a}_{2}}^{2}-2}$=$\frac{4×\frac{3}{2}}{\frac{9}{4}-2}$=24，b₂與c₂都是正整數(shù)；
假設(shè)n=k，b_k與c_k都是正整數(shù)，
即有n=k+1時(shí)，b_k+1=$\frac{2}{\sqrt{{{a}_{k+1}}^{2}-2}}$=$\frac{2}{\sqrt{（\frac{1}{2}{a}_{k}+\frac{1}{{a}_{k}}）^{2}-2}}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}{a}_{k}-\frac{1}{{a}_{k}}}$
=$\frac{4{a}_{k}}{{{a}_{k}}^{2}-2}$=c_k為正整數(shù)，
c_k+1=$\frac{4{a}_{k+1}}{{{a}_{k+1}}^{2}-2}$=$\frac{8{a}_{k}（{{a}_{k}}^{2}+2）}{（{{a}_{k}}^{2}-2）^{2}}$=$\frac{4{a}_{k}}{{{a}_{k}}^{2}-2}$•$\frac{2（{{a}_{k}}^{2}+2）}{{{a}_{k}}^{2}-2}$
=c_k•2（1+$\frac{4}{{{a}_{k}}^{2}-2}$）=c_k•2（1+b_k²），即為正整數(shù)．
則有對一切n∈N^*，n≥2，b_n與c_n都是正整數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，同時(shí)考查不等式的性質(zhì)和化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．