【題目】已知函數(shù)f(x)=sinωx+λcosωx,其圖象的一個對稱中心到最近的一條對稱軸的距離為 ,且在x= 處取得最大值.
(1)求λ的值.
(2)設 在區(qū)間 上是增函數(shù),求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f(x)=sinωx+λcosωx= sin(ωx+φ),其中tanφ=λ;

由題可得 = ,

∴T=π,

∴ω= =2,

∵x= 處取得最大值,

+φ= ,

∴φ= ,

∴λ=tan =


(2)解:由(1)可得f(x)=2sin(2x+ ),

=2asin(2x+ )+cos(4x﹣

=2asin(2x+ )+2cos2(2x﹣ )﹣1

=2asin(2x+ )+2sin2(2x+ )﹣1;

設t=sin(2x+ ),其中x∈( , ),

∴2x+ ∈( ,π),

0<sin(2x+ )< ,

函數(shù)t=sin(2x+ )是單調(diào)減函數(shù),且0<t<

∴函數(shù)g(t)=2t2+2at﹣1,在對稱軸t=﹣ 的左側單調(diào)遞減,

令﹣ ,解得a≤﹣1,

∴a的取值范圍是a≤﹣1


【解析】(1)化簡f(x)為正弦型函數(shù),利用函數(shù)的周期和最值求出ω、λ的值;(2)由f(x)寫出g(x)的解析式,利用換元法和復合函數(shù)的單調(diào)性,即可求出a的取值范圍.
【考點精析】關于本題考查的兩角和與差的正弦公式,需要了解兩角和與差的正弦公式:才能得出正確答案.

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