Question

10．已知向量$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{OC}$=（0，2），$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$cosα，$\sqrt{3}$sinα），則$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的范圍是（　�。�

• A． [$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]
• B． [0，$\frac{π}{3}$]
• C． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
• D． [$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]

Answer 1

分析 計算向量$\overrightarrow{CA}$的模長，得到點A在以C（0，2）為圓心，$\sqrt{3}$為半徑的圓上，利用數(shù)形結(jié)合，由圖來分析其夾角的最大值、最小值點，結(jié)合解三角形的有關(guān)知識進而得到答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{OC}$=（0，2），$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$cosα，$\sqrt{3}$sinα），
∴|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{3cos^2α+3sin^2α}$=$\sqrt{3}$，
A的軌跡是以C（2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓
在△COD中，OC=2，CD=$\sqrt{3}$，∠CDO=$\frac{π}{2}$，所以∠COD=$\frac{π}{3}$，
所以當A在D處時，則 $\overrightarrow{OA}$與 $\overrightarrow{OB}$夾角最小為 $\frac{π}{2}-\frac{π}{3}=\frac{π}{6}$，
當A在E處時 $\overrightarrow{OA}$與 $\overrightarrow{OB}$夾角最大為 $\frac{π}{2}+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}$，
∴$\overrightarrow{OA}$與 $\overrightarrow{OB}$夾角的取值范圍是[$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]，
故選：D．

點評 本題考查向量的坐標運算及向量的數(shù)量積與夾角的計算，根據(jù)條件利用向量模長的幾何意義，轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．