Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{4}$，4a_n+1（1-a_n）=1．
（1）設(shè)b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$，求證數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）求證$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}+\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜n+1．

Answer 1

分析 （1）直接利用等差數(shù)列的定義結(jié)合4a_n+1（1-a_n）=1證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）由（1）中的等差數(shù)列求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，然后由裂項(xiàng)相消法求和，可得$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}+\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜n+1．

解答 證明：（1）∵b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$，
∴$_{n+1}-_{n}=\frac{1}{2{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{2{a}_{n}-1}$=$\frac{2{a}_{n}-2{a}_{n+1}}{4{a}_{n+1}{a}_{n}-2{a}_{n}-2{a}_{n+1}+1}$，
∵4a_n+1（1-a_n）=1，
∴$_{n+1}-_{n}=\frac{2{a}_{n}-2{a}_{n+1}}{4{a}_{n+1}{a}_{n}-2{a}_{n}-2{a}_{n+1}+4{a}_{n+1}（1-{a}_{n}）}=-1$．
∴數(shù)列{b_n}為公差是-1，首項(xiàng)為-2的等差數(shù)列；
（2）∵數(shù)列{b_n}為公差是-1，首項(xiàng)為-2的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{2{a}_{n}-1}=-1-n$，則${a}_{n}=\frac{n}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n+2}•\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n（n+2）}=1+\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
則$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}+\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=n+$\frac{1}{2}$[$（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$]
=$n+\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）＜n+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．