Question

11．已知函數(shù)f（x）=-x³+x²，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．
（1）求f（x）的極值；
（2）若對(duì)任意x∈[1，+∞），使得f（x）+g（x）≥-x³+（a+2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的極值．
（2）f（x）+g（x）≥-x³+（a+2）x化為a（lnx-x）≥2x-x²，通過(guò)y=lnx-x，判斷函數(shù)是減函數(shù)，說(shuō)明lnx-x＜0，得到$a≤\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$，設(shè)$φ（x）=\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$，求出導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x+2-2lnx，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，然后求解$φ（x）=\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$的最小值，推出結(jié)果．

解答 解：（1）f′（x）=-3x²+2x=0，$x=0或\frac{2}{3}$，導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)開(kāi)口向下，
f（x）在（-∞，0）函數(shù)是減函數(shù)，x∈（0，$\frac{2}{3}$）函數(shù)是增函數(shù)，x∈（$\frac{2}{3}$，+∞）函數(shù)是減函數(shù)，
∴$f（x）_{極小}^{\;}=f（0）=0，f（x）_{極大}^{\;}=f（\frac{2}{3}）=\frac{4}{27}$．
（2）f（x）+g（x）≥-x³+（a+2）x化為a（lnx-x）≥2x-x²
又y=lnx-x，y′=$\frac{1}{x}-1$，x∈[1，+∞），y′＜0，函數(shù)是減函數(shù)，
lnx-x＜ln1-1＜0成立，
∴$a≤\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$，
設(shè)$φ（x）=\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$，$φ'（x）=\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{{{{（x-lnx）}^2}}}$，
設(shè)h（x）=x+2-2lnx，$h'（x）=1-\frac{2}{x}$，
∵h(yuǎn)（x）在（1，2）是減函數(shù)，x∈（2，+∞）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，
∴$h（x）_{min}^{\;}=h（2）=4-2ln2＞0$，
∴φ'（x）≥0，∴φ（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
$φ（x）_{min}^{\;}=φ（1）=-1$，
∴a≤-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．