Question

6．正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2$\sqrt{6}$，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切，求：
（1）棱錐的表面積；
（2）內(nèi)切球的表面積與體積．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于D，連結(jié)并延長(zhǎng)AD交BC于E，連結(jié)PE，△ABC是正三角形，AE是BC邊上的高和中線(xiàn)，D為△ABC的中心．由此能求出棱錐的全面積．
（2）求出棱錐的體積，設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，由此能求出球的表面積．

解答 解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于D，
連結(jié)并延長(zhǎng)AD交BC于E，連結(jié)PE，△ABC是正三角形，
∴AE是BC邊上的高和中線(xiàn)，D為△ABC的中心．
∵AB=2$\sqrt{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2$\sqrt{6}$）²=6$\sqrt{3}$，
DE=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{2}$，PE=$\sqrt{3}$．
S_△PAB=S_△PBC=S_△PCA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×\sqrt{3}$=3$\sqrt{2}$．
∴S_表=9$\sqrt{2}$+6$\sqrt{3}$；
（2）設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，
∵PD=1，∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}$•6$\sqrt{3}$•1=2$\sqrt{3}$．
則由等體積可得r=$\frac{3•2\sqrt{3}}{9\sqrt{2}+6\sqrt{3}}$=$\sqrt{6}$-2，
∴S_球=4π（$\sqrt{6}$-2）²．體積V=$\frac{4}{3}$π（$\sqrt{6}$-2）³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的全面積和體積的求法，考查球的表面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．