Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，E為側棱PC上一點．
（1）若BE⊥PC，求證：平面BDE⊥平面PBC；
（2）若PA∥平面BDE，求證：E是PC的中點．

Answer 1

分析 （1）連接AC，推導出AC⊥BD，PA⊥BD，從而BD⊥PC，由此能證明平面BDE⊥平面PBC．
（2）設AC∩BD=O，連接OE，推導出AO=OC，PA∥OE，由此能證明E是PC的中點．

解答 證明：（1）連接AC，因為ABCD為菱形，所以AC⊥BD…（1分）
因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD…（2分）
因為PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC…（4分），BD⊥PC…（5分）
因為BE⊥PC，BD∩BE=B，所以PC⊥平面BDE…（6分）
因為PC?平面PBC，所以平面BDE⊥平面PBC…（8分）
（2）設AC∩BD=O，連接OE，因為ABCD為菱形，所以AO=OC…（9分）
因為PA∥平面BDF，平面PAC∩平面BDE=OE，所以PA∥OE…（11分）
所以PE=EC，E是PC的中點…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線段中點的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．