Question

14．在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x²-6x+1與坐標軸的交點都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）求圓被直線x-y-1=0所截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）求出曲線y=x²-6x+1與坐標軸的交點，進而確定圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理求圓被直線x-y-1=0所截得的弦長．

解答 解：（1）曲線y=x²-6x+1與y軸的交點為（0，1），
與x軸的交點為（3±2$\sqrt{2}$，0），
故可設(shè)C的圓心為（3，t），則有9+（t-1）²=8+t²，解得t=1，
則圓C的半徑為$\sqrt{9}$=3，
所以圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=9；
（2）圓心到直線的距離d=$\frac{|3-1-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
所以圓被直線x-y-1=0所截得的弦長為2$\sqrt{9-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{34}$．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．