Question

8．已知命題P函數(shù)y=lg（2ax²+2x+1）的定義域?yàn)镽；命題Q不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對任意實(shí)數(shù)x恒成立；若P∨Q是真命題，P∧Q是假命題；求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出P，Q成立的等價(jià)條件，利用P∨Q為真，P∧Q為假，確定實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答 解：若函數(shù)y=lg（2ax²+2x+1）的定義域?yàn)镽，
則$\left\{\begin{array}{l}{2a＞0}\\{△=4-8a＜0}\end{array}\right.$，解得：a＞$\frac{1}{2}$，即P：a＞$\frac{1}{2}$．
若不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，
當(dāng)a=2時(shí)，不等式等價(jià)為-4＜0，成立．
當(dāng)a≠0時(shí)，要使不等式恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞0}\\{△={4（a-2）}^{2}+16（a-2）＜0}\end{array}\right.$，
解得-2＜a＜2，
綜上：-2＜a≤2，
即Q：-2＜a≤2，
若P∨Q是真命題，P∧Q是假命題，
則P，Q一真一假，
若P假Q(mào)真，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{-2＜a≤2}\end{array}\right.$，解得-2＜a≤$\frac{1}{2}$．
若P真Q假，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{2}}\\{a＞2或a≤-2}\end{array}\right.$，解得a＞2．
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，$\frac{1}{2}$]∪（2，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的真假關(guān)系，先求出命題p，q成立的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．