Question

12．若關(guān)于x的不等式e^x（ax+1）≥a²ex²+aex（a∈R）在（0，+∞）上恒成立，則a的最大值為（　　）

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可得e^x（ax+1）≥aex（ax+1），即有（ax+1）（e^x-aex）≥0，由不等式在（0，+∞）上恒成立，可得a＞0，且ae≤$\frac{{e}^{x}}{x}$的最小值，運用導(dǎo)數(shù)求得右邊函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值，即可得到所求a的最大值．

解答 解：關(guān)于x的不等式e^x（ax+1）≥a²ex²+aex，
即為e^x（ax+1）≥aex（ax+1），
即有（ax+1）（e^x-aex）≥0，
由不等式在（0，+∞）上恒成立，
可得a＞0，且ae≤$\frac{{e}^{x}}{x}$的最小值，
由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的導(dǎo)數(shù)為$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得x=1處，f（x）取得最小值，且為e，
則ae≤e，可得0＜a≤1，
故a的最大值為1．
故選：C．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分解因式和參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值求法，考查導(dǎo)數(shù)的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．