Question

1．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$，a為正常數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任意x₁，x₂∈（0，$\frac{1}{2}$]，x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）將不等式轉(zhuǎn)為為小于0的形式，構(gòu)造新函數(shù)得到單調(diào)性，由單調(diào)性確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)．從而確定a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，
∴f′（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$）上小于0，在區(qū)間（$\frac{1}{a}$，+∞）上小于0，
∴f（x）的遞增區(qū)間是（$\frac{1}{a}$，+∞），遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$）．
（2）∵$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜-1，
∴$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+1＜0，
即$\frac{f（{x}_{2}）+{x}_{2}-（f（{x}_{1}）+{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
令h（x）=f（x）+x=alnx+$\frac{1}{x}$+x，
h′（x）=$\frac{{x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}$，
有題意得h′（x）≤0對(duì)任意x₁，x₂∈（0，$\frac{1}{2}$]，x₁≠x₂，恒成立，
∴只需x²+ax-1≤0成立即可，
又∵當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y=x²+ax-1取最大值，
∴只需$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$a-1≤0恒成立，
解得a≤$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察不等式的處理，移項(xiàng)后得到與單調(diào)性有關(guān)的式子，再由單調(diào)性確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定出a的取值范圍．