Question

14．已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且f（x）為增函數(shù)，f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（$\frac{{x}^{2}}{y}$）=2f（x）-f（y）；
（2）若f（2）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可令y=x，x²=$\frac{{x}^{2}}{y}$•y，結(jié)合條件，即可得證；
（2）由f（2）=1，可得f（4）=2f（2）=2，f（a）＞f（a-1）+2，即為f（a）＞f（a-1）+f（4）=f（4（a-1）），由f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，即有a＞0，a-1＞0，a＞4（a-1），解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）證明：由f（xy）=f（x）+f（y），
令y=x，可得f（x²）=2f（x），
又f（x²）=f（$\frac{{x}^{2}}{y}$•y）=f（$\frac{{x}^{2}}{y}$）+f（y），
即有f（$\frac{{x}^{2}}{y}$）=2f（x）-f（y）；
（2）由f（2）=1，可得f（4）=2f（2）=2，
f（a）＞f（a-1）+2，即為f（a）＞f（a-1）+f（4）=f（4（a-1）），
由f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{a＞4（a-1）}\end{array}\right.$解得1＜a＜$\frac{4}{3}$．
則a的取值范圍是（1，$\frac{4}{3}$）．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運用：解不等式，考查抽象函數(shù)的解決方法：賦值法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．