Question

7．已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，M是線(xiàn)段PB的中點(diǎn)．
（1）證明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求點(diǎn)M到平面PCD的距離；
（3）求直線(xiàn)MC與平面PCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明面PAD⊥面PCD，只需證明面PCD內(nèi)的直線(xiàn)CD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)AD、PD即可；
（2）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)M到平面PCD的距離；
（3）利用向量的夾角公式，求直線(xiàn)MC與平面PCD所成角的余弦值．

解答 （1）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂線(xiàn)定理得：CD⊥PD．
因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線(xiàn)AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD．
又CD?面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．
（2）解：以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得P（0，0，1），D（1，0，0），C（1，1，0），B（0，2，0），
$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（1，0，-1），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{x-z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∵M(jìn)是線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，
∴M（0，1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{PM}$=（0，1，-$\frac{1}{2}$），
∴M到平面PCD的距離為d=$\frac{|-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（3）$\overrightarrow{MC}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）
設(shè)直線(xiàn)MC與面PCD所成角為θ，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴直線(xiàn)MC與平面PCD所成角的余弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直，二面角的求法，點(diǎn)到平面的距離，考查空間想象能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．