Question

17．設(shè){a_n}為a₁=4的單調(diào)遞增數(shù)列，且滿足a_n+1²+a_n²+16=8（a_n+1+a_n）+2a_n+1•a_n，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 利用完全平方和與差公式化簡遞推公式，根據(jù)題意再開方得$\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}$=2，由等差數(shù)列的定義判斷出：數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以2為首項和公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式求出$\sqrt{{a}_{n}}$，最后求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：因為a_n+1²+a_n²+16=8（a_n+1+a_n）+2a_n+1•a_n，
所以a_n+1²+a_n²-8（a_n+1+a_n）+16=2a_n+1•a_n，
（a_n+1+a_n）²-8（a_n+1+a_n）+16=4a_n+1•a_n，
則（a_n+1+a_n-4）²=4a_n+1•a_n，
因為{a_n}為a₁=4的單調(diào)遞增數(shù)列，
所以a_n+1+a_n-4=2$\sqrt{{a}_{n+1}{a}_{n}}$，則a_n+1+a_n-2$\sqrt{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=4，
即${（\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}）}^{2}$=4，則$\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}$=±2，
又{a_n}為a₁=4的單調(diào)遞增數(shù)列，
則$\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}$=2，又a₁=4，則$\sqrt{{a}_{1}}$=2，
所以數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以2為首項和公差的等差數(shù)列，
則$\sqrt{{a}_{n}}=2n$，所以${a}_{n}=4{n}^{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列的定義、通項公式的應(yīng)用，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．