Question

13．已知函數(shù)$f（x）=（m-\frac{n}{3}）•{3^x}+{x^2}+2nx$，記函數(shù)y=f（x）的零點構(gòu)成的集合為A，函數(shù)y=f[f（x）]的零點構(gòu)成的集合為B，若A=B，則m+n的取值范圍為[0，$\frac{8}{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出f（0）=0，從而求得m與n的關系，求出f（x）的解析式，再討論n的值，求出n的取值范圍，從而求得m+n的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，設x₁∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
∴f（x₁）=f（f（x₁））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m-$\frac{n}{3}$=0，
解得m=$\frac{n}{3}$；
故f（x）=x²+2nx，
f（f（x））=（x²+2nx）（x²+2nx+2n）=0，
當n=0時，滿足題意；
當n≠0時，0，-2n不是x²+2nx+2n=0的根，
∴△=4n²-8n＜0，
解得0＜n＜2；
∴m+n=$\frac{4n}{3}$，
則0≤n+m＜$\frac{8}{3}$；
∴m+n的取值范圍是[0，$\frac{8}{3}$）．
故答案為：[0，$\frac{8}{3}$）．

點評 本題考查了函數(shù)與集合的關系應用及分類討論的思想應用，同時考查了方程的根的判斷，屬于中檔題．