Question

4．己知離心率為e的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，直線l：y=ex+a與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，$\overline{AM}$=λ$\overline{AB}$，P是點(diǎn)F₁關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)．
（I）當(dāng)λ∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]時(shí)，求e的取值范圍；
（Ⅱ）若△PF₁F₂是等腰三角形，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)分別令y=0與x=0，可得A、B的坐標(biāo)．直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得點(diǎn)M的坐標(biāo)．由$\overline{AM}$=λ$\overline{AB}$，解得λ=1-e²．利用λ∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]時(shí)，可得e的取值范圍．
（Ⅱ）由PF₁⊥l，可得∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有$\frac{1}{2}$|PF₁|=c．再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，∴A$（-\frac{a}{e}，0）$，B（0，a）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=ex+a}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-c}\\{y=\frac{^{2}}{a}}\end{array}\right.$．這里c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是$（-c，\frac{^{2}}{a}）$．
∵$\overline{AM}$=λ$\overline{AB}$，∴$（-c+\frac{a}{e}，\frac{^{2}}{a}）$=λ$（\frac{a}{e}，a）$，
∴$-c+\frac{a}{e}$=λ$\frac{a}{e}$，解得e²=1-λ．
∵λ∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]時(shí)，e²∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]，
又0＜e＜1，∴e∈$[\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
即e的取值范圍為$[\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
（Ⅱ）∵PF₁⊥l，∴∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，
要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即$\frac{1}{2}$|PF₁|=c．
設(shè)點(diǎn)F₁到l的距離為d，
由$\frac{1}{2}$|PF₁|═d=$\frac{|-ce+0+a|}{\sqrt{1+{e}^{2}}}$=$\frac{|a-ce|}{\sqrt{1+{e}^{2}}}$=c，
得$\frac{1-{e}^{2}}{\sqrt{1+{e}^{2}}}$=e．e²=$\frac{1}{3}$，于是λ=1-e²=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、點(diǎn)到直線的距離公式、對(duì)稱問題、等腰三角形，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．