Question

12．極坐標(biāo)系的極點為直角坐標(biāo)系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ），斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$的直線l交y軸與點E（0，1）．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）直線l與曲線C交于A、B兩點，求|EA|•|EB|的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），由此能求出C的標(biāo)準(zhǔn)方程；由斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$的直線l交y軸與點E（0，1），能求出直線l的參數(shù)方程．
（2）直線l與曲線C聯(lián)立得${t}^{2}-\sqrt{3}t-1=0$，由此能求出|EA|•|EB|的值．

解答 解：（1）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），
∴x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2，
∵斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$的直線l交y軸與點E（0，1），
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，t為參數(shù)．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入（x-1）²+（y-1）²=2，
得${t}^{2}-\sqrt{3}t-1=0$，
∴${t}_{1}+{t}_{2}=\sqrt{3}$，t₁t₂=-1，
∴|EA|•|EB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=|-1|=1．

點評 本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查直線的參數(shù)方程的求法，考查|EA|•|EB|的值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要熟練掌握參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的概念．