Question

14．三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球D的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=3，AB=BC=2，則球O的表面積為（　�。�

• A． 13π
• B． 17π
• C． 52π
• D． 68π

Answer 1

分析 取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OA、OB．由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出BC⊥PB且PA⊥AC，得到△PAC與△PBC是具有公共斜邊的直角三角形，從而得出OA=OB=OC=OP=$\frac{1}{2}$PC，所以P、A、B、C四點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上．根據(jù)題中的數(shù)據(jù)，利用勾股定理算出PC長(zhǎng)，進(jìn)而得到球半徑R，利用球的表面積公式加以計(jì)算，可得答案．

解答 解：取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OA、OB
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴BC⊥PB，
∵OB是Rt△PBC的斜邊上的中線，OB=$\frac{1}{2}$PC．
同理可得：Rt△PAC中，OA=$\frac{1}{2}$PC，
∴OA=OB=OC=OP=$\frac{1}{2}$PC，可得P、A、B、C四點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上．
Rt△ABC中，AB=BC=2，可得AC=2$\sqrt{2}$，
Rt△PAC中，PA=3，可得PC=$\sqrt{17}$．
∴球O的半徑R=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，可得球O的表面積為S=4πR²=17π．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題給出特殊的三棱錐，由它的外接球的表面積．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理與球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．