Question

13．棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E是CC₁的中點，求二面角D-B₁E-B的大�。�

Answer 1

分析 建立空間坐標(biāo)系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 解：建立以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），B₁（1，1，1），
則平面B₁EB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設(shè)平面DB₁E的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{DE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，1，1），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{y+\frac{1}{2}z=0}\\{x+y+z=0}\end{array}\right.$，
令z=2，則y=-1，x=-1，即$\overrightarrow{m}$=（-1，-1，2），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{1×\sqrt{1+1+4}}$=-$\frac{1}{\sqrt{6}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∵二面角D-B₁E-B是銳二面角，
∴二面角D-B₁E-B的余弦值為cosα=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
則α=arccos$\frac{\sqrt{6}}{6}$

點評 本題主要考查二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強，運算量較大．