Question

17．若函數(shù)f（x）=x²+2a|x-2|，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=f（n）．
（1）若數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，記{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，求滿足不等式T_n＞2015的最小整數(shù)n；
（3）當(dāng)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)時(shí)，對(duì)任意給定的k（k∈N*），是否存在自然數(shù)p，r（k＜p＜r）使$\frac{1}{{a}_{k}}$，$\frac{1}{{a}_{p}}$，$\frac{1}{{a}_{r}}$成等差數(shù)列？若不存在，說明理由；若存在，請(qǐng)找出p，r與k的一組關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意寫出a_n的解析式，解不等式a₁＜a₂＜a₃即可；
（2）由$a=\frac{1}{2}$，解不等式$\frac{{4}^{n+1}}{3}-\frac{40}{3}$＞2015即可；
（3）由題可得a_n=2n-1，分k=1、k≥2兩種情況討論討論即可．

解答 解：（1）由題意得：S_n=f（n）=n²+2a|n-2|，
從而，有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1+2a，}&{n=1}\\{3-2a，}&{n=2}\\{2n-1+2a，}&{n≥3}\end{array}\right.$，
當(dāng)n≥3時(shí)，數(shù)列{a_n}顯然遞增，只要a₁＜a₂＜a₃即可，
所以有$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$；
（2）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1，2}\\{2n，}&{n≥3}\end{array}\right.$，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，}&{n=1，2}\\{{4}^{n}，}&{n≥3}\end{array}\right.$，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{4n，}&{n=1，2}\\{\frac{{4}^{n+1}}{3}-\frac{40}{3}，}&{n≥3}\end{array}\right.$，
解不等式T_n＞2015，即$\frac{{4}^{n+1}}{3}-\frac{40}{3}$＞2015，
可得n＞-1+log₄6085≈5.29，
所以，滿足條件的最小整數(shù)為6；
（3）當(dāng)f（x）為偶函數(shù)時(shí)，可得a=0，此時(shí)，f（x）=x²，
又a_n=f（n+1）-f（n），所以a_n=2n-1，
當(dāng)k=1時(shí)，不存在滿足條件的自然數(shù)p，r（k＜p＜r），
事實(shí)上，由$\frac{1}{{a}_{k}}$，$\frac{1}{{a}_{p}}$，$\frac{1}{{a}_{r}}$成等差數(shù)列，即$\frac{2}{2p-1}=1+\frac{1}{2r-1}$可得$r=\frac{1}{3-2p}$，
又由r＞p可得$p∈（1，\frac{3}{2}）$，矛盾； 
當(dāng)k≥2時(shí)，存在無數(shù)組滿足條件的自然數(shù)p，r（1＜p＜r）；
如k=2時(shí)，可找到p=3，r=8，使得$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{15}$成等差數(shù)列，
更一般地，對(duì)任意給定的k∈N^*（k≥2），設(shè)a_k=x，a_p=y，a_r=z，
由$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}$得$z=\frac{xy}{2x-y}$，令y=2x-1，z=xy=x（2x-1）即可，
此時(shí)取a_k=x=2k-1，
由a_p=y=2（2k-1）-1，得p=2k-1，
由a_r=z=x（2x-1）=（2k-1）（4k-3）=2（4k²-5k+2）-1，可知r=4k²-5k+2，
即對(duì)任意給定的大于1的自然數(shù)k，存在p=2k-1，r=4k²-5k+2，使$\frac{1}{{a}_{k}}$，$\frac{1}{{a}_{p}}$，$\frac{1}{{a}_{r}}$成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的單調(diào)性、求前n項(xiàng)和及等差數(shù)列的綜合題，考查分析能力、計(jì)算能力和分類討論的思想，屬于難題．