Question

16．已知圓C：（x-3）²+（y-2）²=r²（r＞0）．
（1）若點(diǎn)P（4，-1）在圓C外，求r的取值范圍；
（2）若直線l：y=x+2被圓C截得的弦AB的長等于該圓的半徑，求圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，已知直線m：y=x+n被圓截得的弦與圓心C構(gòu)成三角形CDE．問△CDE的面積有沒有最大值？若有最大值，求出直線m的方程；若沒有最大值，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)到圓心的距離大于半徑構(gòu)造r的不等式；
（2）轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，列出r的方程求解即可；
（3）在圓的半徑一定的前提下，只需∠DCE最大，此時(shí)該三角形為等腰直角三角形，然后可求出圓心到直線的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}r$，據(jù)此利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出n的值．

解答 解：（1）點(diǎn)P到圓心（3，2）的距離$d=\sqrt{（4-3）^{2}+（-1-2）^{2}}=\sqrt{10}$．
所以若點(diǎn)P在圓外，只需r＜d，即$0＜r＜\sqrt{10}$．
（2）若弦長等于半徑，則△ABC為等邊三角形，則圓心（3，2）到直線AB：x-y+2=0的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}r$．
所以$\frac{|3-2+2|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，解得r=$\sqrt{6}$．
故圓C的方程為（x-3）²+（y-2）²=6．
（3）由（2）知圓C：（x-3）²+（y-2）²=6．
由題意y=x+n被圓截得的弦與圓心C構(gòu)成三角形CDE的面積
S=$\frac{1}{2}{r}^{2}sin∠DCE$=3sin∠DCE，當(dāng)$∠DCE=\frac{π}{2}$時(shí)，S_max=3．
此時(shí)圓心到直線m：x-y+n=0的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}r=\sqrt{3}$，
所以$\frac{|3-2+n|}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，解得$n=-1±\sqrt{6}$．
所以直線m的方程為$x-y-1+\sqrt{6}=0$或$x-y-1-\sqrt{6}=0$．．

點(diǎn)評 直線與圓的位置關(guān)系問題，一般最終轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離的問題來解．