Question

20．已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+m（m∈R），將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后得到y(tǒng)=g（x）的圖象，且y=g（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{4}]$內(nèi)的最大值為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若$g（\frac{3}{4}B）=1$，且a+c=2，求△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用兩角和公式和對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，根據(jù)圖象的平移確定g（x）的解析式，根據(jù)x的范圍和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定g（x）的最大值的解析式，求得m．
（Ⅱ）根據(jù)第一問中函數(shù)的解析式確定B的值，進(jìn)而利用余弦定理和基本不等式確定b的范圍，最后確定周長(zhǎng)的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)得$f（x）=sin2x-cos2x-1+m=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1+m$，
∴$g（x）=\sqrt{2}sin[2（x+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]-1+m=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1+m$，
因?yàn)楫?dāng)$x∈[0，\frac{π}{4}]$時(shí)，$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，
所以由已知得$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{8}$時(shí)，$g{（x）_{max}}=\sqrt{2}+m-1=\sqrt{2}$，
所以m=1；                                                   
（Ⅱ）由已知$g（\frac{3}{4}B）=\sqrt{2}sin（\frac{3}{2}B+\frac{π}{4}）=1$，
因?yàn)槿�角形�?0＜\frac{3}{2}B＜\frac{3π}{2}$，
所以$\frac{π}{4}＜\frac{3}{2}B+\frac{π}{4}＜\frac{7π}{4}$，
所以$\frac{3}{2}B+\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$，即$B=\frac{π}{3}$，
又因?yàn)閍+c=2，由余弦定理得：${b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB={a^2}+{c^2}-ac={（a+c）^2}-3ac≥{（a+c）^2}-\frac{{3{{（a+c）}^2}}}{4}=1$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時(shí)等號(hào)成立，
又∵b＜a+c=2，∴1≤b＜2，
所以△ABC的周長(zhǎng)l=a+b+c∈[3，4），
故△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍是[3，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力和一定的推理能力．