Question

10．四棱錐P-ABCD的底面為正方形，邊長為a，且PD=a，PA=PC=$\sqrt{2}$a，在這個四棱錐中放入一個球，則球的最大半徑為$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$a．

Answer 1

分析 證PD垂直于平面ABCD內(nèi)的兩條相交線，可得PD⊥平面ABCD．當所放的球與四棱錐各面都相切時球的半徑最大，即球心到各個面的距離均相等，聯(lián)想到用體積法求解．

解答 解：∵PD=a，AD=a，PA=$\sqrt{2}$a，
∴PD²+DA²=PA²，同理∴∠PDA=90°．
即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．
設此球半徑為R，最大的球應與四棱錐各個面都相切，
設球心為S，連SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分為五個棱錐，設它們的高均為R
∵V_P-ABCD=V_S-PDA+V_S-PDC+V_S-ABCD+V_S-PAB+V_S-PBC
∴$\frac{1}{3}×a×a×a$=$\frac{1}{3}$R（2×$\frac{1}{2}×a×a$+2×$\frac{1}{2}×a×\sqrt{2}a$）
∴R=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$a．
∴球的最大半徑為$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$a
故答案為：$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$a．

點評 本題主要考查棱錐的性質(zhì)以及內(nèi)切外接的相關知識點．“內(nèi)切”和“外接”等有關問題，首先要弄清幾何體之間的相互關系，主要是指特殊的點、線、面之間關系，然后把相關的元素放到這些關系中解決問題，例如本例中球內(nèi)切于四棱錐中時，球與四棱錐的五個面相切，即球心到五個面的距離相等．求體積或運用體和解決問題時，經(jīng)常使用等積變形，即把一個幾何體割補成其它幾個幾何體的和或差．