Question

7．已知點P到點A（-2，0）的距離是點P到點B（1，0）的距離的2倍．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），求$\frac{y-2}{x-1}$的取值范圍；
（Ⅲ）若點P與點Q關(guān)于點（2，1）對稱，點C（3，0），求|QA|²+|QC|²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過題意，利用兩點間距離公式計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）記K（1，2），通過將$\frac{y-2}{x-1}$視為直線PK的斜率，利用直線與圓的位置關(guān)系計算即得結(jié)論；
（Ⅲ）通過設(shè)Q（2+2cosθ，2+2sinθ），利用兩點間距離公式及三角函數(shù)的有界性即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點P（x，y），
∵點P到點A（-2，0）的距離是點P到點B（1，0）的距離的2倍，
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，即x²+y²-4x=0，
化簡可得：（x-2）²+y²=4，
∴點P（x，y）的軌跡是以M（2，0）為圓心，2為半徑的圓，
其軌跡方程為：（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）記K（1，2），則$\frac{y-2}{x-1}$可視為直線PK的斜率，
設(shè)直線PK的斜率為k，則直線PK的方程為：y-2=k（x-1），
即：kx-y+2-k=0，
由于點K在圓M外，當(dāng)直線PK與圓M相切時有：$\frac{|2k+2-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，
解得：k=0或k=$\frac{4}{3}$，
∴k的取值范圍為：k∈[$\frac{4}{3}$，+∞）∪（-∞，0]，
∴$\frac{y-2}{x-1}$的取值范圍為：（-∞，0]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）；
（Ⅲ）由題可得，點Q的軌跡是以N（2，2）為圓心，2為半徑的圓N，
設(shè)Q（2+2cosθ，2+2sinθ），
則|QA|²=（2+2cosθ+2）²+（2+2sinθ）²=24+16cosθ+8sinθ，
|QC|²=（2+2cosθ-3）²+（2+2sinθ）²=9-4cosθ+8sinθ，
∴|QA|²+|QC|²=33+12cosθ+16sinθ=33+20sin（θ+φ），其中tanφ=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)sin（θ+φ）=1時|QA|²+|QC|²取最大值，當(dāng)sin（θ+φ）=-1時|QA|²+|QC|²取最小值，
∴|QA|²+|QC|²的最大值、最小值分別為：53、13．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，涉及到直線與圓的位置關(guān)系、三角函數(shù)有界性、兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．