Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=1，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{14}$
• D． 16

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，利用坐標(biāo)法，結(jié)合特殊值法進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=1，
∴|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=2，$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=1，
不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（a，b），$\overrightarrow{c}$=（c，d），
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，∴a=1，即$\overrightarrow$=（1，b），
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=2，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=c=2，即$\overrightarrow{c}$=（2，d），
∵$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=1，
∴2+bd=1，即bd=-1，
則$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=（4，b+d），
則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{16+（b+d）^{2}}$，
∵bd=-1，∴當(dāng)b=1，d=-1或b=-1，d=1時(shí)，（b+d）²=0，
即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{16+（b+d）^{2}}$≥$\sqrt{16}$=4，
即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|的最小值為4，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，由于難度比較大，使用坐標(biāo)法和特殊值法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．