Question

11．已知圓${C_1}：{（x-1）^2}+{y^2}=25$，圓${C_2}：{（x+1）^2}+{y^2}=1$，動圓C₃與圓C₁內(nèi)切并與圓C₂外切．�。�1）設動圓C₃的圓心軌跡為曲線C，求C的方程；
（2）若過點A（0，-3）的直線l與C交于兩點D，E，求△ODE的最大面積．

Answer 1

分析 （1）設C₃（x，y），根據(jù)圓的位置關系得出|C₁C₃|=5-r，|C₂C₃|=1+r，故而|C₁C₃|+|C₂C₃|=6，根據(jù)距離公式列方程化簡即可；
（2）設l方程為y=kx-3，聯(lián)立方程組得出k的取值范圍，求出弦長|DE|和O到直線l的距離d，代入三角形的面積公式得出面積S關于k的函數(shù)，利用基本不等式得出面積的最大值．

解答 解：（1）設動圓C₃的圓心為C₃（x，y），半徑為r，
則|C₁C₃|=5-r，|C₂C₃|=1+r，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=6，
整理得$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
∴曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
（2）設直線l方程為y=kx-3，
則O到直線l的距離d=$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$得（8+9k²）x²-54kx+9=0，
∵直線l與曲線C有兩個交點，
∴△=（-54k）²-36（8+9k²）＞0，解得k²＞$\frac{1}{9}$．
設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{54k}{8+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{8+9{k}^{2}}$，
∴|DE|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12\sqrt{2}\sqrt{9{k}^{2}-1}}{8+9{k}^{2}}$．
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$|DE|•d=$\frac{18\sqrt{2}\sqrt{9{k}^{2}-1}}{8+9{k}^{2}}$．
令$\sqrt{9{k}^{2}-1}$=t，則8+9k²=t²+9，（t＞0）
∴S_△ODE=$\frac{18\sqrt{2}t}{{t}^{2}+9}$=$\frac{18\sqrt{2}}{t+\frac{9}{t}}$≤$\frac{18\sqrt{2}}{2\sqrt{t•\frac{9}{t}}}$=3$\sqrt{2}$．當且僅當t=$\frac{9}{t}$即t=3時取等號．
∴△ODE的最大面積為3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的位置關系，距離公式的應用，屬于中檔題．