Question

9．已知，如圖，P是平面ABC外一點(diǎn)，PA不垂直于平面ABC，E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段AC，PC的中點(diǎn)，D是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，AB=AC，PB=PC，DE⊥EF．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）求證：BC∥平面DEF．

Answer 1

分析 （1）設(shè)線(xiàn)段BC的中點(diǎn)為G，分別連接AG、PG．構(gòu)建線(xiàn)面垂直：BC⊥平面AGP．根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）利用三角形中位線(xiàn)定理推知EF∥AP．結(jié)合已知條件得到PA⊥DE． 因?yàn)镻A⊥BC，BC、DE是平面ABC內(nèi)兩條直線(xiàn)，如果BC、DE相交，則PA⊥平面ABC，與PA不與平面ABC的垂直矛盾．
故BC∥DE．最后根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理得到結(jié)論．

解答 （1）證明：設(shè)線(xiàn)段BC的中點(diǎn)為G，分別連接AG、PG．
∵AB=AC，PB=PC，
∴AG⊥BC，PG⊥BC，
∵AG、PG是平面AGP內(nèi)的兩條相交線(xiàn)，
∴BC⊥平面AGP．
∵PA?平面AGP，
∴PA⊥BC．
（2）證明：∵E、F分別是線(xiàn)段AC、PC的中點(diǎn)，
∴EF∥AP．
∵DE⊥EF，
∴PA⊥DE．                         
因?yàn)镻A⊥BC，BC、DE是平面ABC內(nèi)兩條直線(xiàn)，
如果BC、DE相交，則PA⊥平面ABC，與PA不與平面ABC的垂直矛盾．
∴BC∥DE．          
又BC?平面DEF，DE?平面DEF，
∴BC∥平面DEF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線(xiàn)面面面平行與垂直的判定及性質(zhì)定理、三角形中位線(xiàn)定理，考查了空間想象能力、推理能力，屬于中檔題．