Question

19．證明：xln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）＞$\sqrt{1+{x}^{2}}$-1（x＞0）

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=xln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）-$\sqrt{1+{x}^{2}}$+1（x＞0），求出導(dǎo)數(shù)，再由g（x）=ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）判斷單調(diào)性，即可得到f（x）的單調(diào)性，即可得證．

解答 證明：設(shè)f（x）=xln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）-$\sqrt{1+{x}^{2}}$+1（x＞0）
f′（x）=ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+x•$\frac{1}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$•（1+$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$）-$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$
=ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），
由于g（x）=ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$•（1+$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$）=$\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$＞0，
即有g(shù)（x）在（0，+∞）遞增，即g（x）＞g（0）=0，
則f′（x）＞0，即有f（x）在（0，+∞）遞增，
則有f（x）＞f（0）=0，
即為xln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）-$\sqrt{1+{x}^{2}}$+1＞0，
則xln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）＞$\sqrt{1+{x}^{2}}$-1（x＞0）．

點評 本題考查不等式的證明，主要考查構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性證明不等式的方法，屬于中檔題．