Question

14．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，且EC⊥平面ABC，EC=2．
（1）證明：DE∥平面ABC；
（2）證明：AD⊥BE．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點(diǎn)F，連接DF，CF，由已知可證DF$\stackrel{∥}{=}$EC，可得四邊形DEFC為平行四邊形，可得DE∥FC，由DE?平面ABC，從而可證DE∥平面ABC．
（2）以FA，F(xiàn)C，F(xiàn)D為x，y，z軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，求出向量$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}$的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=0，即可證明AD⊥BE．

解答 證明：（1）取AB的中點(diǎn)F，連接DF，CF，
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，
∴DF⊥CF，
∵DF=$\frac{1}{2}$BC=2
又∵EC⊥平面ABC，既有：EC⊥FC，EC=2．
∴DF$\stackrel{∥}{=}$EC，故四邊形DEFC為平行四邊形，
∴DE∥FC
∴DE?平面ABC，可得DE∥平面ABC．
（2）以FA，F(xiàn)C，F(xiàn)D為x，y，z軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，
則有：A（2，0，0），D（0，0，2），B（-2，0，0），E（0，2$\sqrt{3}$，2）
$\overrightarrow{AD}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BE}$=（-2，2$\sqrt{3}$，2）
由于$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=0，
故AD⊥BE．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基本知識(shí)的考查．