Question

10．已知a，b，c＞0，且a+b+c=1，求證：$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥1．

Answer 1

分析 由a，b，c＞0，且a+b+c=1，運用基本不等式，可得a+$\frac{^{2}}{a}$≥2b，b+$\frac{{c}^{2}}$≥2c，c+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥2a，再由累加法和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：由a，b，c＞0，且a+b+c=1，
運用基本不等式，可得
a+$\frac{^{2}}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{^{2}}{a}}$=2b，
b+$\frac{{c}^{2}}$≥2$\sqrt{b•\frac{{c}^{2}}}$=2c，
c+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥2$\sqrt{c•\frac{{a}^{2}}{c}}$=2a，
上式相加可得，a+b+c+$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥2（a+b+c），
即為$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥a+b+c=1，
當且僅當a=b=c，上式取得等號．
則有$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥1成立．

點評 本題考查不等式的證明，主要考查基本不等式的運用，運用累加法和不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．