Question

1．已知雙曲線C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$的焦距為$10\sqrt{5}$，點P（1，2）在雙曲線C的漸近線上，則雙曲線C的方程為（　�。�

• A． $\frac{y^2}{20}-\frac{x^2}{5}=1$
• B． $\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{20}=1$
• C． $\frac{y^2}{100}-\frac{x^2}{25}=1$
• D． $\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{100}=1$

Answer 1

分析 由題意可得c=5$\sqrt{5}$，即有a²+b²=125，求出雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，可得a=2b，解方程可得a，b，進而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$的焦距為$10\sqrt{5}$，
可得2c=10$\sqrt{5}$，即c=5$\sqrt{5}$，即有a²+b²=125，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得a=2b，
解得a=10，b=5，
可得雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{100}$-$\frac{{x}^{2}}{25}$=1．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和基本量的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．