Question

已知集合A={x|x²-4x+3=0}，B={x|x²-ax+9=0，x∈R}．
（1）若A∩B=B，求實數a的取值范圍；
（2）寫出A∩B=B的一個充分非必要條件，并說明理由．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：（1）若A∩B=B等價為B⊆A，然后根據判別式和根與系數之間的關系即可求實數a的取值范圍；
（2）根據充分條件和必要條件的定義即可寫出A∩B=B的一個充分非必要條件．

解答： 解：A={x|x²-4x+3=0}={1，3}，
（1）若A∩B=B，則B⊆A，則B=∅或B={1}或B={3}或B={1，3}，
若B=∅，則判別式△=a²-36＜0，解得-6＜a＜6，
若B={1}，則

△=a2-36=0 1-a+9=0

，
即

a=±6 a=10

，此時無解．
若B={3}，則

△=a2-36=0 9-3a+9=0

，即

a=±6 a=6

，解得a=6，
若B={1，3}，則∵1×3=9不成立，即此時a無解．
綜上-6＜a≤6．
（2）∵A∩B=B的等價條件是-6＜a≤6．
∴A∩B=B的一個充分非必要條件可以是0＜a＜6．，
∵當0＜a＜6時，-6＜a≤6成立，
當a=6時，滿足-6＜a≤6但0＜a＜6，
∴0＜a＜6是A∩B=B的一個充分非必要條件．

點評：本題主要考查集合的基本運算和關系，以及充分條件和必要條件的應用，比較基礎．