Question

求函數(shù)y=|x²-5x+6|在x∈[-1，a]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將函數(shù)的絕對(duì)值符號(hào)去掉，化成分段函數(shù)，然后給出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再討論函數(shù)在[-1，a]上的單調(diào)性，從而求出該函數(shù)的在區(qū)間[-1，a]上的值域．

解答： 解：原函數(shù)可化為f（x）=

x2-5x+6，x≤2或x≥3 -x2+5x-6，2＜x＜3

，該函數(shù)在區(qū)間（-∞，2]，[

5

2

，3]上是減函數(shù)；在區(qū)間（2，

5

2

），（3，+∞）上是增函數(shù)．
其圖象如圖所示：

（1）當(dāng)a≤2時(shí)，原函數(shù)在[-1，a]上遞減，所以y_min=f（a）=a²-5a+6，y_max=f（-1）=12，所以此時(shí)值域?yàn)閇a²-5a+6，12]；
（2）當(dāng)2＜a≤6時(shí)，因?yàn)閒（

5

2

）=

1

4

＜f（-1）=f（6）=12，所以由圖象可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a]上的最小值為0，最大值為f（-1）=12，所以此時(shí)值域?yàn)閇0，12]；
（3）當(dāng)a＞6時(shí)，結(jié)合（2）可知以及圖象可知，y_min=0，y_max=f（a）=a²-5a+6，所以此時(shí)值域?yàn)閇0，a²-5a+6]．
綜上可知，當(dāng)a≤2時(shí)，值域?yàn)閇a²-5a+6，12]；當(dāng)2＜a≤6時(shí)，值域?yàn)閇0，12]；當(dāng)a＞6時(shí)，值域?yàn)閇0，a²-5a+6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域的方法，關(guān)鍵是利用如何畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)一步研究該函數(shù)的單調(diào)性．讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)的作用．