Question

11．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，焦距為$4\sqrt{2}$，拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F是橢圓C₁的頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求C₁與C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）C₁上不同于F的兩點(diǎn)P，Q滿足$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=0$，且直線PQ與C₂相切，求△FPQ的面積．

Answer 1

分析 （I）設(shè)橢圓C₁的焦距為2c，依題意有$2c=4\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，由此能求出橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；又拋物線C₂：x²=2py（p＞0）開(kāi)口向上，故F是橢圓C₁的上頂點(diǎn)，由此能求出拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則$\overrightarrow{FP}=（{x_1}，{y_1}-2）$，$\overrightarrow{FQ}=（{x_2}，{y_2}-2）$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件能求出△FPQ的面積．

解答 解：（I）設(shè)橢圓C₁的焦距為2c，依題意有$2c=4\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
解得$a=2\sqrt{3}$，b=2，故橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$．…（3分）
又拋物線C₂：x²=2py（p＞0）開(kāi)口向上，故F是橢圓C₁的上頂點(diǎn)，
∴F（0，2），∴p=4，
故拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=8y．…（5分）
（II）由題意得直線PQ的斜率存在．設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則$\overrightarrow{FP}=（{x_1}，{y_1}-2）$，$\overrightarrow{FQ}=（{x_2}，{y_2}-2）$，
∴$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}-2（{y_1}+{y_2}）+4=0$，…（6分）
即$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（km-2k）（{x_1}+{x_2}）+{m^2}-4m+4=0$（*）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，消去y整理得，（3k²+1）x²+6kmx+3m²-12=0（**）．
依題意，x₁，x₂是方程（**）的兩根，△=144k²-12m²+48＞0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{3{m^2}-12}}{{3{k^2}+1}}$，…（7分）
將x₁+x₂和x₁•x₂代入（*）得m²-m-2=0，
解得m=-1，（m=2不合題意，應(yīng)舍去）．…（8分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x^2}=8y\end{array}\right.$，消去y整理得，x²-8kx+8=0，
令△'=64k²-32=0，解得${k^2}=\frac{1}{2}$．…（10分）
經(jīng)檢驗(yàn)，${k^2}=\frac{1}{2}$，m=-1符合要求．
此時(shí)，$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{\frac{72}{25}-4（-\frac{18}{5}）}=\frac{{12\sqrt{3}}}{5}$，
∴${S_{△FPQ}}=\frac{1}{2}×3×|{x_1}-{x_2}|=\frac{{18\sqrt{3}}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．