Question

20．已知平面直角坐標(biāo)系中兩個定點E（3，2），F(xiàn)（-3，2），如果對于常數(shù)λ，在函數(shù)y=|x+2|+|x-2|-4，（x∈[-4，4]）的圖象上有且只有6個不同的點P，使得$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=λ成立，那么λ的取值范圍是（　　）

• A． （-5，-$\frac{9}{5}$）
• B． （-$\frac{9}{5}$，11）
• C． （-$\frac{9}{5}$，-1）
• D． （-5，11）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)y=|x+2|+|x-2|-4在[-4，4]的圖象，討論若P在AB上，設(shè)P（x，-2x-4）；若P在BC上，設(shè)P（x，0）；若P在CD上，設(shè)P（x，2x-4）．求得向量PE，PF的坐標(biāo)，求得數(shù)量積，由二次函數(shù)的最值的求法，求得取值范圍，討論交點個數(shù)，即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)y=|x+2|+|x-2|-4
=$\left\{\begin{array}{l}{-4-2x，-4≤x≤-2}\\{0，-2＜x≤2}\\{2x-4，2＜x≤4}\end{array}\right.$，
（1）若P在AB上，設(shè)P（x，-2x-4），-4≤x≤-2．
∴$\overrightarrow{PE}$=（3-x，6+2x），$\overrightarrow{PF}$=（-3-x，6+2x）．
∴$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=x²-9+（6+2x）²=5x²+24x+27，
∵x∈[-4，-2]，∴-$\frac{9}{5}$≤λ≤11．
∴當(dāng)λ=-$\frac{9}{5}$時有一解，當(dāng)-$\frac{9}{5}$＜λ≤11時有兩解；
（2）若P在BC上，設(shè)P（x，0），-2＜x≤2．
∴$\overrightarrow{PE}$=（3-x，2），$\overrightarrow{PF}$=（-3-x，2）．
∴$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=x²-9+4=x²-5，
∵-2＜x≤2，∴-5≤λ≤-1．
∴當(dāng)λ=-5或-1時有一解，當(dāng)-5＜λ＜-1時有兩解；
（3）若P在CD上，設(shè)P（x，2x-4），2＜x≤4．
$\overrightarrow{PE}$=（3-x，6-2x），$\overrightarrow{PF}$=（-3-x，6-2x），
∴$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=x²-9+（6-2x）²=5x²-24x+27，
∵2＜x≤4，∴-$\frac{9}{5}$≤$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=λ≤11．
∴當(dāng)λ=-$\frac{9}{5}$時有一解，當(dāng)-$\frac{9}{5}$＜λ＜11時有兩解．
綜上，可得有且只有6個不同的點P的情況是-$\frac{9}{5}$＜λ＜-1．
故選：C．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，二次函數(shù)的根的個數(shù)判斷，注意運用分類討論的思想方法，屬于中檔題．