Question

19．已知橢圓G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短半軸長為1．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓G的短軸端點分別為A，B，點P是橢圓G上異于點A，B的一動點，直線PA，PB分別與直線x=4于M，N兩點，以線段MN為直徑作圓C．
①當點P在y軸左側(cè)時，求圓C半徑的最小值；
②問：是否存在一個圓心在x軸上的定圓與圓C相切？若存在，指出該定圓的圓心和半徑，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短半軸長為1，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）①設(shè)P（x₀，y₀），A（0，1），B（0，-1），直線PA的方程為：$y-1=\frac{{{y_0}-1}}{x_0}x$，從而${y_M}=\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1$，同理${y_N}=\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1$，進而$|MN|=|2-\frac{8}{x_0}|$，由此能求出圓C半徑的最小值．
②當P在左端點時，圓C的方程為：（x-4）²+y²=9；當P在右端點時，設(shè)P（2，0），A（0，1），B（0，-1），y_M=-1，同理得到y(tǒng)_N=1，圓C的方程為：（x-4）²+y²=1，由此能求出存在一個圓心在x軸上的定圓與圓C相切，該定圓的圓心為（2，0）和半徑R=1．

解答 解：（Ⅰ）因為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短半軸長為1．
所以$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，得到$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．（3分）
（Ⅱ）①設(shè)P（x₀，y₀），A（0，1），B（0，-1）
所以直線PA的方程為：$y-1=\frac{{{y_0}-1}}{x_0}x$
令x=4，得到${y_M}=\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1$，
同理得到${y_N}=\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1$，得到$|MN|=|2-\frac{8}{x_0}|$
所以，圓C半徑$r=|1-\frac{4}{x_0}|（-2≤{x_0}＜0）$
當x₀=-2時，圓C半徑的最小值為3．（9分）
②當P在左端點時，圓C的方程為：（x-4）²+y²=9
當P在右端點時，設(shè)P（2，0），A（0，1），B（0，-1）
所以直線PA的方程為：$y-1=\frac{-1}{2}x$
令x=4，得到y(tǒng)_M=-1同理得到y(tǒng)_N=1，
圓C的方程為：（x-4）²+y²=1，
由意知與定圓（x-2）²+y²=1相切，半徑R=1
由前一問知圓C的半徑$r=|1-\frac{4}{x_0}|=\left\{\begin{array}{l}1-\frac{4}{x_0}，-2≤{x_0}＜0\\ \frac{4}{x_0}-1，0＜{x_0}≤2\end{array}\right.$
因為${y_M}=\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1$，${y_N}=\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1$，圓C的圓心坐標為$（4，\frac{{4{y_0}}}{x_0}）$
圓心距$d=\sqrt{{{（4-2）}^2}+{{（\frac{{4{y_0}}}{x_0}）}^2}}$=$\sqrt{4+\frac{{16（1-\frac{{{x_0}^2}}{4}）}}{{{x_0}^2}}}$=$\frac{4}{{|{x_0}|}}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{4}{x_0}，-2≤{x_0}＜0\\ \frac{4}{x_0}，0＜{x_0}≤2\end{array}\right.$
當-2≤x₀＜0時，$d=r-R=（1-\frac{4}{x_0}）-1=-\frac{4}{x_0}$，此時定圓與圓C內(nèi)切；
當0＜x₀≤2時，$d=r+R=（\frac{4}{x_0}-1）+1=\frac{4}{x_0}$，此時定圓與圓C外切；
存在一個圓心在x軸上的定圓與圓C相切，該定圓的圓心為（2，0）和半徑R=1．（14分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查圓的半徑的最小值的求法，考查滿足條件的定圓是否存在的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．