Question

2．設(shè)二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=-1，f（x）-2=0的兩個(gè)根分別為-3，1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）圖象恒在直線y=x+m上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由過定點(diǎn)和減2后的兩個(gè)根得到解析式．
（2）由圖象語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，轉(zhuǎn)化為恒成立問題．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=-1，
∴假設(shè)f（x）的解析式是f（x）=ax²+bx-1
∵f（x）-2=0的兩個(gè)根分別為-3，1．
∴ax²+bx-3=0的兩個(gè)根分別為-3，1．
∴a=1，b=2
∴f（x）的解析式是f（x）=x²+2x-1
（2）∵y=f（x）圖象恒在直線y=x+m上方
等價(jià)于x²+2x-1-（x+m）＞0恒成立，
即m＜x²+x-1在區(qū)間[-1，1]上恒成立，
∵y=x²+x-1在區(qū)間[-1，1]上的最小值是-$\frac{5}{4}$
∴m＜-$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)解析式的求解和轉(zhuǎn)化思想．