Question

19．已知a≠0，函數(shù)f（x）=ax（x-1）²（x∈R）有極大值4．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先將函數(shù)f（x）展開，然后對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，再由函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)證從而最終確定答案．
（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減可求單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=ax（x-1）²=ax³-2ax²+ax，
∴f′（x）=3ax²-4ax+a．
由f′（x）=a（3x²-4x+1）=a（3x-1）（x-1）．
①當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）遞增，在（$\frac{1}{3}$，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，f（x）有極大值4，即$\frac{1}{3}$a${（\frac{1}{3}-1）}^{2}$=4，
解得：a=27，符合題意；
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）遞減，在（$\frac{1}{3}$，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極大值4，即$\frac{1}{3}$a•0=4，不成立，
綜上：a=27；
（2）由（1）得：f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）遞增，在（$\frac{1}{3}$，1）遞減，在（1，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的極值、單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．屬中檔題．