19.已知a≠0,函數(shù)f(x)=ax(x-1)2(x∈R)有極大值4.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

分析 (1)先將函數(shù)f(x)展開,然后對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,再由函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)證從而最終確定答案.
(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減可求單調(diào)區(qū)間.

解答 解:(1)∵f(x)=ax(x-1)2=ax3-2ax2+ax,
∴f′(x)=3ax2-4ax+a.
由f′(x)=a(3x2-4x+1)=a(3x-1)(x-1).
①當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)>0,解得:x>1或x<$\frac{1}{3}$,令f′(x)<0,解得:$\frac{1}{3}$<x<1,
∴f(x)在(-∞,$\frac{1}{3}$)遞增,在($\frac{1}{3}$,1)遞減,在(1,+∞)遞增,
∴當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí),f(x)有極大值4,即$\frac{1}{3}$a${(\frac{1}{3}-1)}^{2}$=4,
解得:a=27,符合題意;
②當(dāng)a<0時(shí),令f′(x)<0,解得:x>1或x<$\frac{1}{3}$,令f′(x)>0,解得:$\frac{1}{3}$<x<1,
∴f(x)在(-∞,$\frac{1}{3}$)遞減,在($\frac{1}{3}$,1)遞增,在(1,+∞)遞減,
∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)有極大值4,即$\frac{1}{3}$a•0=4,不成立,
綜上:a=27;
(2)由(1)得:f(x)在(-∞,$\frac{1}{3}$)遞增,在($\frac{1}{3}$,1)遞減,在(1,+∞)遞增.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的極值、單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系.屬中檔題.

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A.-4B.-3C.-2D.-1

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4.已知$f(x)=\frac{lnx}{1+x}-lnx,f(x)$在x=x0處取最大值,以下結(jié)論:
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