Question

3．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過(guò)點(diǎn)$A（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別為其左、右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)P，Q，且$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$？若存在，求出該圓的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和A在橢圓上，滿足橢圓方程，解方程即可得到所求橢圓的方程；
（2）假設(shè)滿足條件的圓存在，其方程為：x²+y²=r²（0＜r＜1）．當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+m，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，由$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$，可得x₁x₂+y₁y₂=0，代入化簡(jiǎn)整理，再由直線和圓相切的條件，即可得到滿足條件的圓存在；運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，由二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由題意得：e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²-b²=c²，
且$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，
解得$c=\sqrt{3}$，a=2，b=1，
所以橢圓E方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；                   
（2）假設(shè)滿足條件的圓存在，其方程為：x²+y²=r²（0＜r＜1）．
當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得（1+4k²）x²+8mkx+4m²-4=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
可得${x_1}+{x_2}=-\frac{8bk}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{b^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
∵$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴$\frac{{（1+{k^2}）（4{m^2}-4）}}{{1+4{k^2}}}-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{1+4{k^2}}}+{m^2}=0$，
∴5m²=4k²+4，
由直線PQ與圓相切，則${r^2}=\frac{m^2}{{1+{k^2}}}=\frac{4}{5}$，
所以存在圓${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$．
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，也適合${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$．
綜上所述，存在圓心在原點(diǎn)的圓${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$滿足題意．    
由弦長(zhǎng)公式可得：$|PQ|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（-\frac{8bk}{{4{k^2}+1}}）}^2}-\frac{{4（4{b^2}-4）}}{{4{k^2}+1}}}$=$4\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{4{k^2}-{b^2}+1}}{{{{（4{k^2}+1）}^2}}}}$，
又${b^2}=\frac{4}{5}{k^2}+\frac{4}{5}$，代入上式可得：$|PQ|=\frac{4}{{\sqrt{5}}}\sqrt{\frac{{（1+{k^2}）（16{k^2}+1）}}{{{{（4{k^2}+1）}^2}}}}$，
令4k²+1=t，即${k^2}=\frac{t-1}{4}，t≥1$，
則$|PQ|=\frac{4}{{\sqrt{5}}}\sqrt{\frac{{（1+\frac{t-1}{4}）（16×\frac{t-1}{4}+1）}}{t^2}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}\sqrt{-9{{（\frac{1}{t}）}^2}+\frac{9}{t}+4}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}\sqrt{-9{{（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{25}{4}}$，
當(dāng)$\frac{1}{t}=\frac{1}{2}$時(shí)，即$k=±\frac{1}{2}$時(shí)，$|PQ{|_{max}}=\sqrt{5}$，
當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，$|PQ|=|{y_1}-{y_2}|=\frac{4}{{\sqrt{5}}}＜\sqrt{5}$，
所以$|PQ{|_{max}}=\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及直線和圓相切的條件：d=r，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．