Question

18．計算${∫}_{1}^{5}$（|2-x|+|sinx|）dx+${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$dx．

Answer 1

分析 先計算${∫}_{1}^{5}$（|2-x|+|sinx|）dx=${∫}_{2}^{5}$（x-2）dx+${∫}_{1}^{2}$（2-x）dx+${∫}_{1}^{π}$sinxdx-${∫}_{π}^{5}$sinxdx的積分，再根據(jù)定積分的幾何意義，${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$dx=${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{4-（x-1）^{2}}$dx，表示以（1，0）為圓心，以2為半徑的圓的面積的四分之一，問題得以解決．

解答 解：${∫}_{1}^{5}$（|2-x|+|sinx|）dx=${∫}_{2}^{5}$（x-2）dx+${∫}_{1}^{2}$（2-x）dx+${∫}_{1}^{π}$sinxdx-${∫}_{π}^{5}$sinxdx=（$\frac{1}{2}$x²-2x）|${\;}_{2}^{5}$+（2x-$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{1}^{2}$-cosx|${\;}_{1}^{π}$+cosx${|}_{π}^{5}$=5+2+cos1+cos5=7+cos1+cos5
∵${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$dx=${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{4-（x-1）^{2}}$dx，表示以（1，0）為圓心，以2為半徑的圓的面積的四分之一，
∴${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}$×π×2²=π，
∴${∫}_{1}^{5}$（|2-x|+|sinx|）dx+${∫}_{1}^{3}$$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$dx=7+cos1+cos5+π

點評 本題考查了定積分的計算和定積分的幾何意義，屬于中檔題．