Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$），其離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為A，直線l交C于兩點(diǎn)M、N（異于點(diǎn)A），且AM⊥AN，證明直線l過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)P滿足橢圓方程，以及a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，設(shè)M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），A（2，0），可得（3+4k²）x²+8km+4m²-12=0，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，得到，7m²+16km+4k²=0，7m=-2k，m=-2k，代入求解即可得出定點(diǎn)．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又a²-b²=c²，
且$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，
解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）證明：由$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），A（2，0），
可得（3+4k²）x²+8km+4m²-12=0，
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
即4k²＞m²-3，
由AM⊥AN，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=-1，
即為（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
即（k²+1）x₁x₂+（mk-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
即有（k²+1）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+（mk-2）（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+m²+4=0，
化簡可得7m²+16km+4k²=0，
m=-$\frac{2}{7}$k或m=-2k，滿足判別式大于0，
當(dāng)m=-$\frac{2}{7}$k時(shí)，y=kx+m=k（x-$\frac{2}{7}$）（k≠0），
直線l過定點(diǎn)（$\frac{2}{7}$，0）；
當(dāng)m=-2k時(shí)，y=kx-2k=k（x-2），直線l過定點(diǎn)（2，0）．
由右頂點(diǎn)為A（2，0），則直線l過定點(diǎn)（2，0）不符合題意，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，也成立．
根據(jù)以上可得：直線l過定點(diǎn)，且為（$\frac{2}{7}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理整體求解，屬于中檔題．