Question

12．已知函數f（x）=$\sqrt{\frac{3{x}^{2}}{{x}^{2}+3}}$，數列{x_n}的通項由x_n=f（x_n-1）（n≥2，且n∈N^*）確定．
（1）求證：{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}是等差數列；
（2）當x₁=$\frac{1}{25}$時，求x₂₀₁₄．

Answer 1

分析 （1）通過x_n+1=$\sqrt{\frac{3{{x}_{n}}^{2}}{{{x}_{n}}^{2}+3}}$可知${{x}_{n+1}}^{2}$=$\frac{3{{x}_{n}}^{2}}{{{x}_{n}}^{2}+3}$，對等式兩邊同時取倒數可知$\frac{1}{{{x}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}$，進而數列{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}是公差為$\frac{1}{3}$的等差數列；
（2）通過（1）可知數列{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}的公差為$\frac{1}{3}$，通過x₁=$\frac{1}{25}$可知首項$\frac{1}{{{x}_{2014}}^{2}}$=1296，進而計算可得結論．

解答 （1）證明：依題意，x_n+1=$\sqrt{\frac{3{{x}_{n}}^{2}}{{{x}_{n}}^{2}+3}}$，
∴${{x}_{n+1}}^{2}$=$\frac{3{{x}_{n}}^{2}}{{{x}_{n}}^{2}+3}$，
∴$\frac{1}{{{x}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{n}}^{2}+3}{3{{x}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}$，
∴數列{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}是公差為$\frac{1}{3}$的等差數列；
（2）由（1）可知數列{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}的公差為$\frac{1}{3}$，
又∵x₁=$\frac{1}{25}$時，
∴$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$=625，
∴$\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}$=625+$\frac{1}{3}$（n-1）=625+$\frac{n-1}{3}$，
∴$\frac{1}{{{x}_{2014}}^{2}}$=625+$\frac{2014-1}{3}$=625+671=1296，
∴x₂₀₁₄=$\frac{1}{\sqrt{1296}}$=$\frac{1}{36}$．

點評 本題考查數列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．