Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2，PD⊥面ABCD，直線PA與直線BC所成角大小為60°，求直線PB與直線AC所成角的大�。�

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，由PD⊥面ABCD，直線PA與直線BC所成角大小為60°，AD∥BC，可得∠PAD是直線PA與直線BC所成角，其大小為60°．PD=2$\sqrt{3}$，再利用$cos＜\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{AC}＞$=$\frac{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{AC}|}$即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵PD⊥面ABCD，直線PA與直線BC所成角大小為60°，AD∥BC，
∴∠PAD是直線PA與直線BC所成角，其大小為60°．
∴PD=2$\sqrt{3}$，
∴P$（0，0，2\sqrt{3}）$，B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0）．
$\overrightarrow{BP}$=$（-2，-4，2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AC}$=（-2，4，0），
∴$cos＜\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{AC}＞$=$\frac{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{4-16}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$-\frac{3\sqrt{10}}{20}$．
∴直線PB與直線AC所成角的大小為arccos$\frac{3\sqrt{10}}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面角、異面直線所成的角、向量的夾角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．