Question

16．如果數(shù)列{a_n}同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：（1）各項(xiàng)均不為0；（2）存在常數(shù)k，對(duì)任意n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+k都成立．則稱這樣的數(shù)列{a_n}為“k類等比數(shù)列”．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}滿足a_n=3n+1，證明數(shù)列{a_n}為“k類等比數(shù)列”，并求出相應(yīng)的k；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}為“3類等比數(shù)列”，且滿足a₁=1，a₂=2，問是否存在常數(shù)l，使得a_n+a_n+2=la_n+1對(duì)于任意n∈N^*都成立？若存在，求出l；若不存在，請(qǐng)舉出反例．

Answer 1

分析 （I）由a_n=3n+1，只要證明a_n+1²-a_na_n+2為與n無關(guān)的常數(shù)即可．
（II）數(shù)列{a_n}為“3類等比數(shù)列”，且滿足a₁=1，a₂=2，可得a_n+1²=a_na_n+2+3，取n=1時(shí)，解得a₃=1．假設(shè)存在常數(shù)l，使得a_n+a_n+2=la_n+1對(duì)于任意n∈N^*都成立，
則a₁+a₃=la₂，解得l=1．可得a_n+a_n+2=a_n+1，下面說明對(duì)于任意n∈N^*以下兩個(gè)式子：a_n+1²=a_na_n+2+3，a_n+a_n+2=a_n+1，都成立．由a_n+a_n+2=a_n+1，a₁=1，a₂=2，可得a_n+6=a_n，只要驗(yàn)證：n=1，2，3，4，5，6時(shí)，滿足a_n+1²=a_na_n+2+3，即可．

解答 （I）證明：∵a_n=3n+1，∴a_n+1²-a_na_n+2=[3（n+1）+1]²-（3n+1）（3n+7）=9，
∴對(duì)任意n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+9都成立，且k=9．
∴數(shù)列{a_n}為“9類等比數(shù)列”．
（II）解：∵數(shù)列{a_n}為“3類等比數(shù)列”，且滿足a₁=1，a₂=2，
∴a_n+1²=a_na_n+2+3，
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}+3$，解得a₃=1．
假設(shè)存在常數(shù)l，使得a_n+a_n+2=la_n+1對(duì)于任意n∈N^*都成立，
則a₁+a₃=la₂，∴1+1=l×2，解得l=1．
因此a_n+a_n+2=a_n+1，
下面說明對(duì)于任意n∈N^*以下兩個(gè)式子：a_n+1²=a_na_n+2+3，a_n+a_n+2=a_n+1，都成立．
由a_n+a_n+2=a_n+1，a₁=1，a₂=2，
可得：a₃=1，a₄=-1，a₅=-2，a₆=-1，a₇=1，a₈=2，…，
∴a_n+6=a_n，
因此數(shù)列{a_n}是周期為6的周期數(shù)列．
經(jīng)過驗(yàn)證：n=1，2，3，4，5，6時(shí)，滿足a_n+1²=a_na_n+2+3，
同理對(duì)于任意n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義“k類等比數(shù)列”的性質(zhì)、數(shù)列的周期性，考查了探究能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．