Question

11．若行列式$|{\begin{array}{l}5&1&π\(zhòng)\{sin（{π+x}）}&0&{\sqrt{2}}\\{cos（{\frac{π}{4}+x}）}&2&1\end{array}}|$的第1行第2列的元素1的代數(shù)余子式為-1，則實數(shù)x的取值集合為{x|x=π+2kπ，k∈Z}．

Answer 1

分析 本題直接根據(jù)行列式的代數(shù)余子式的定義進行計算，即可得到本題結(jié)論．

解答 解：∵行列式$|{\begin{array}{l}5&1&π\(zhòng)\{sin（{π+x}）}&0&{\sqrt{2}}\\{cos（{\frac{π}{4}+x}）}&2&1\end{array}}|$的第1行第2列的元素1的代數(shù)余子式為-1，
∴-$|\begin{array}{l}{sin（π+x）}&{\sqrt{2}}\\{cos（\frac{π}{4}+x）}&{1}\end{array}|$=-1，
∴sin（π+x）-$\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}+x）$=1，
∴-sinx-$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx-sinx）=1，
即cosx=-1，∴x=π+2kπ   （k∈Z），
故答案為：{x|x=π+2kπ，k∈Z}．

點評 本題考查了行列式的代數(shù)余子式，三角函數(shù)的計算，記住常用常見角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．