Question

20．已知點M（1，2），N（4，3），動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OM}$+μ$\overrightarrow{ON}$，其中O為坐標原點，且λμ≥0，|λ+μ|≤1，則點P所在平面區(qū)域的面積為5．

Answer 1

分析 當λ，μ均大于0時，P點所在區(qū)域為△OMN內(nèi)部，當λ，μ均小于0時，P點所在區(qū)域為△OMN關(guān)于原點對稱的三角形．

解答 解：當λ＞0，μ＞0，0≤λ+μ≤1時，點P所在區(qū)域為△OMN內(nèi)部（含邊界），
當λ＜0，μ＜0，-1≤λ+μ≤0時，點P所在區(qū)域為△OMN內(nèi)部（含邊界）關(guān)于原點得對稱區(qū)域．
|$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{ON}$|=5，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=10，
∴cos＜$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$＞=$\frac{10}{5\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin＜$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$＞=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}×$5×$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{5}{2}$．
∴點P所在的區(qū)域面積S=2S_△OMN=5．
故答案為：5．

點評 本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題．