5．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點，P是雙曲線在第一象限上的點，直線PO，PF2分別交雙曲線C左，右支于另一點，M，N．若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，則雙曲線C的離心率為$\sqrt{3}$．

分析 由題意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=60°，可得∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2•4a•2a•cos60°，即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：由題意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a，
∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，
∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°，
由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2•4a•2a•cos60°，
∴c=$\sqrt{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線C的離心率，考查余弦定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．

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